MATEMATIKA

A.   PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. 

A

Panjang sisi-sisi suatu segitiga

 

 

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan a

Panjang sisi dihadapan sudut   dinamakan b

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c² = a² + b²

2.  Besar sudut pada segitiga

     Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah

3.  Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a.  sin  = =

              b. cos

              c. tan

d. cotg

e. sec

f. csc

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Cotg

Sec

Csc

Contoh :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

a.    Tentukan panjang sisi c

b.    Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut

 

Jawab :

A.2  Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus

       (0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰)

						300
				2

 

     Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

	00	300	450	600	900
Sin	0
Cos	1
Tan	0
Csc	t.t	2
Sec	1
Cotg	t.t

    

     Contoh :

     Tentukan nilai dari :

     1. Sin 0⁰ + Csc 45⁰ = 0 +

     2. = 1

A.3  Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

     1.  Dikuadran I

          Titik A(x,Y) dikuadran I

          Absis positif

r

A(x,y)

          Ordinat positif

y

x

         

2.    Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II

A(-x,y)

Absis negatif

Ordinat positif

r

y

-x

    

     Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

	I	II	III	IV
Sin	+	+	-	-
Cos	+	-	-	+
Tan	+	-	+	-
Csc	+	+	-	-
Sec	+	-	-	+
Cotg	+	-	+	-

    

 

     Contoh :

     Diketahui Sin  =    dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai

     Jawab : Sin ,  y = 3, r = 5, x =

     Karena dikuadran II, nilai x = -4

     Sehingga : Sec = ,  Csc , Cotg

A.   PERSAMAAN TRIGONOMETRI

1.    Sin x = Sin p

X₁ = p + k.360               atau    x₁ = p + k.2

X₂ = (180 – p) + k.360              x₂ = ( - p) + k.2 

2.    Cos x = Cos p

X₁ = p + k.360              atau     x₁ = p + k.2

X₂ = -p + k.360             atau     x₂ = -p + k.2

3.    Tan x = Tan p

X₁ = p + k.180              atau     x₁ = p + k.

         

          Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :

          a. Sin x = Sin 20⁰   ; 

              x₁ = 20 + k.360 ,   untuk k = 0         x₁ = 20

                                                   k = 1         x₂ = 20 + 360

                                                                        = 380 (tidak memenuhi)

              X₂ = (180 – 20) + k.360,  untuk k = 0        x₂ = 160

               Jadi HP = {20, 160}

          b. 2 Cos x =     ;  

                Cos x =

                Cos x = Cos 30

              X₁ = 30 + k.360 ,  untuk k = 0        x₁ = 30

               X₂ = -30 + k.360 ,  untuk k = 0        x₂ = - 30 (tidak memenuhi)

                                                    K = 1       x₂ = 330

               HP = {30, 330}

A.   IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin²x + Cos²x = 1

     Sin²x = 1 – Cos²x

     Cos²x = 1 – Sin²x

2. 1 + tan²x = sec²x

     1 = sec²x – tan²x

     Tan²x = sec²x – 1

3. 1 + cotg²x = cosec²x

     1 = cosec²x – cotg²x

     Cotg²x = cosec²x – 1

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan²x + 4 = 5 sec²x – 1

     Jawab   :

     5 tan²x + 4 = 5 (sec²x – 1) + 4

                      = 5 sec²x – 5 + 4

                      = 5 sec²x – 1   (terbukti)

2. Buktikan bahwa 3 cos²x + 3 sin²x = 3

     Jawab  :

     3 cos²x + 3 sin²x = 3 (cos²x + sin²x)

                              = 3 . 1

                              = 3     (terbukti)

B.   RUMUS SINUS DAN COSINUS

1.  Aturan Sinus

     Perhatikan segitiga ABC berikut.

 

     Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

    

         

 

              Contoh :

              1. Pada segitiga ABC, b = 1, .  Hitunglah c.

                    Jawab :

                          

                                                    =

                                                    =

                                                    =

                                                    =

2.    Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. . Hitunglah

    

                 Sin C =

                                                =

                                                =

                                                =

                                          = 41,1

     2. Aturan Cosinus

          Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

 

          Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

         

          a² = b² + c² – 2bc cos

          b² = a² + c² – 2ac cos

          c² = a² + b² – 2ab cos

 

          Contoh :

1.    Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 60⁰.

Hitung panjang BC

Jawab :

a² = b² + c² – 2bc cos A

    = 5² + 8² – 2.5.8. cos 60

    = 25 + 64 – 80. ½

    = 89 – 40

    = 49

a   = 7 cm

C.   LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

 

          L = ½ b.c. sin A

          L = ½ a.b. sin C

          L = ½ a.c. sin B

 

     2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

         

             

         

         

 

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

 

         

 

          s = ½ . Keliling Segitiga

             = ½ (a + b + c)

Contoh :

1.    Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 45⁰

Jawab :

L = ½ a.b.sin C

   = ½ 5.8.sin 45⁰

   = 20. ½

   = 10

2.    Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, . Tentukan luasnya.

Jawab :

    

    

    

3.    Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

 

 cm²