A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1.
|
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
a. sin = =
b. cos
c. tan
d. cotg
e. sec
f. csc
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
Cotg
Sec
Csc
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut
Jawab :
A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
| 00 | 300 | 450 | 600 | 900 |
Sin | 0 | | | | |
Cos | 1 | | | | |
Tan | 0 | | | | |
Csc | t.t | 2 | | | |
Sec | 1 | | | | |
Cotg | t.t | | | | |
Contoh :
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +
2. = 1
A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
|
|
|
|
|
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
|
Ordinat positif
|
|
|
Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.
| I | II | III | IV |
Sin | + | + | - | - |
Cos | + | - | - | + |
Tan | + | - | + | - |
Csc | + | + | - | - |
Sec | + | - | - | + |
Cotg | + | - | + | - |
Contoh :
Diketahui Sin = dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai
Jawab : Sin , y = 3, r = 5, x =
Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec = , Csc , Cotg
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1. Sin x = Sin p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2
2. Cos x = Cos p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2
3. Tan x = Tan p
X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
a. Sin x = Sin 200 ;
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20
k = 1 x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}
b. 2 Cos x = ;
Cos x =
Cos x = Cos 30
X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)
K = 1 x2 = 330
HP = {30, 330}
A. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
= 3 . 1
= 3 (terbukti)
B. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, . Hitunglah c.
Jawab :
=
=
=
=
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. . Hitunglah
Sin C =
=
=
=
= 41,1
2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, = 600.
Hitung panjang BC
Jawab :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
C. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½
= 10
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, . Tentukan luasnya.
Jawab :
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
cm2