MATEMATIKA


A.   PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1. 
A
 
Panjang sisi-sisi suatu segitiga


 




 





Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut   dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
c2 = a2 + b2
2.  Besar sudut pada segitiga
     Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah
3.  Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
a.  sin  = =
              b. cos
              c. tan
d. cotg
e. sec
f. csc








Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
Cotg
Sec
Csc

Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.
a.    Tentukan panjang sisi c
b.    Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut


 








Jawab :

A.2  Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
       (00, 300, 450, 600, 900)













300
 



2
 




 





 










     Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)


00
300
450
600
900
Sin
0



Cos
1



Tan
0



Csc
t.t
2



Sec
1



Cotg
t.t




    
     Contoh :
     Tentukan nilai dari :
     1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +
     2. = 1

A.3  Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
     1.  Dikuadran I
          Titik A(x,Y) dikuadran I
          Absis positif
  r
 
A(x,y)
 
          Ordinat positif
  
 
  y
 
  x
 
         








2.    Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
A(-x,y)
 
Absis negatif
Ordinat positif
  r
 
  y
 
  -x
 

    
     Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I
II
III
IV
Sin
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tan
+
-
+
-
Csc
+
+
-
-
Sec
+
-
-
+
Cotg
+
-
+
-

    












 









     Contoh :
     Diketahui Sin  =    dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai

     Jawab : Sin ,  y = 3, r = 5, x =
     Karena dikuadran II, nilai x = -4
     Sehingga : Sec = ,  Csc , Cotg
A.   PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1.    Sin x = Sin p
X1 = p + k.360               atau    x1 = p + k.2
X2 = (180 – p) + k.360              x2 = ( - p) + k.2 
2.    Cos x = Cos p
X1 = p + k.360              atau     x1 = p + k.2
X2 = -p + k.360             atau     x2 = -p + k.2
3.    Tan x = Tan p
X1 = p + k.180              atau     x1 = p + k.
         





          Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
          a. Sin x = Sin 200   ; 
              x1 = 20 + k.360 ,   untuk k = 0         x1 = 20
                                                   k = 1         x2 = 20 + 360
                                                                        = 380 (tidak memenuhi)
              X2 = (180 – 20) + k.360,  untuk k = 0        x2 = 160
               Jadi HP = {20, 160}
          b. 2 Cos x =     ;  
                Cos x =
                Cos x = Cos 30
              X1 = 30 + k.360 ,  untuk k = 0        x1 = 30
               X2 = -30 + k.360 ,  untuk k = 0        x2 = - 30 (tidak memenuhi)
                                                    K = 1       x2 = 330
               HP = {30, 330}
A.   IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
     Sin2x = 1 – Cos2x
     Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
     1 = sec2x – tan2x
     Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
     1 = cosec2x – cotg2x
     Cotg2x = cosec2x – 1





Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
     Jawab   :
     5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
                      = 5 sec2x – 5 + 4
                      = 5 sec2x – 1   (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
     Jawab  :
     3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
                              = 3 . 1
                              = 3     (terbukti)

B.   RUMUS SINUS DAN COSINUS
1.  Aturan Sinus
     Perhatikan segitiga ABC berikut.


 








     Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:
    
         

 

              Contoh :
              1. Pada segitiga ABC, b = 1, .  Hitunglah c.
                    Jawab :
                          
                                                    =
                                                    =
                                                    =
                                                    =

2.    Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. . Hitunglah
    
                 Sin C =
                                                =
                                                =
                                                =
                                          = 41,1


     2. Aturan Cosinus
          Perhatikan segitiga ABC berikut ini :


 








          Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
         
          a2 = b2 + c2 – 2bc cos
          b2 = a2 + c2 – 2ac cos
          c2 = a2 + b2 – 2ab cos


 

          Contoh :
1.    Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 600.
Hitung panjang BC
Jawab :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
    = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
    = 25 + 64 – 80. ½
    = 89 – 40
    = 49
a   = 7 cm




C.   LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui








 









          L = ½ b.c. sin A
          L = ½ a.b. sin C
          L = ½ a.c. sin B


 



     2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.
         
             

         


         


 


3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui


 

         



 

          s = ½ . Keliling Segitiga
             = ½ (a + b + c)





Contoh :
1.    Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
   = ½ 5.8.sin 450
   = 20. ½
   = 10

2.    Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, . Tentukan luasnya.
Jawab :

    
    
    

3.    Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
 
 cm2